Münzwurf-Wahrscheinlichkeit: Ein Experiment mit 10 Münzen für den Unterricht
Eine faire Münze zeigt bei jedem Wurf mit 50 % Wahrscheinlichkeit Kopf. Das heißt aber nicht, dass zehn Würfe fünfmal Kopf ergeben müssen. Mit diesem kurzen Experiment zeigst du den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses und den Ergebnissen einer kleinen Stichprobe.
Zehn Würfe ausprobieren
Dieser Simulator startet mit zehn Münzen. Erzeuge eine Reihe und notiere Kopf und Zahl, bevor du die nächste erzeugst.
Für eine Ganzseitenansicht öffne den Simulator für 10 Münzen. Du kannst auch eine einzelne Münze werfen und die Stichprobe Ergebnis für Ergebnis aufbauen.
Eine Unterrichtsaktivität in zehn Minuten
- Lass alle schätzen, wie oft bei den ersten zehn Würfen Kopf fällt. Notiere die Vermutungen, bevor Ergebnisse erzeugt werden.
- Wirf zehn Münzen. Notiere die Anzahl Kopf, die Anzahl Zahl und den Anteil Kopf. Siebenmal Kopf bei zehn Würfen sind 7/10 oder 70 %.
- Wiederhole das für zehn Reihen und behalte alle Ergebnisse. Addiere die Kopf-Würfe aller Reihen und teile durch 100. Verwirf keine Reihen, die ungewöhnlich aussehen.
- Vergleiche jedes Ergebnis aus zehn Würfen mit dem Gesamtergebnis aus hundert Würfen. Besprecht, wie die größere Stichprobe die Schätzung verändert.
- Wiederhole das Ganze mit 100 Münzen auf einmal oder fasst die Ergebnisse der ganzen Klasse zusammen. Eine größere Stichprobe liegt meist näher an 50 %, auch wenn das für einen einzelnen Durchgang nicht garantiert ist.
Notiere neben den Prozentwerten immer auch die absoluten Zahlen. 60 % Kopf bei zehn Würfen sagen viel weniger über die Münze aus als 60 % Kopf bei zehntausend Würfen.
Welche Ergebnisse sind bei zehn fairen Würfen zu erwarten?
Zehn unabhängige Münzwürfe haben 2¹⁰ = 1.024 gleich wahrscheinliche Folgen. KKKKKZZZZZ ist zum Beispiel eine Folge, abwechselnd Kopf und Zahl eine andere. Viele verschiedene Folgen enthalten fünfmal Kopf, aber nur eine einzige enthält zehnmal Kopf.
| Ergebnis | Passende Folgen | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Genau fünfmal Kopf | 252 | 24,61 % |
| Genau vier- oder sechsmal Kopf | 420 | 41,02 % |
| Nur Kopf | 1 | 0,0977 % |
| Nur Zahl | 1 | 0,0977 % |
| Alle zehn gleich, entweder Kopf oder Zahl | 2 | 0,1953 % oder 1 zu 512 |
Diese Werte stammen aus der Binomialformel: Die Wahrscheinlichkeit für genau k-mal Kopf bei n fairen Würfen beträgt C(n, k) / 2ⁿ, wobei C(n, k) die Möglichkeiten zählt, die Positionen dieser Kopf-Würfe auszuwählen. Für fünfmal Kopf bei zehn Würfen ist C(10, 5) = 252.
Ist Kopf nach einer Serie von Zahl „fällig“?
Nein. Sind die Würfe unabhängig und ist die Münze fair, hat der nächste Wurf auch nach fünfmal Zahl weiterhin eine Wahrscheinlichkeit von 50 % für Kopf. Frühere Ergebnisse verändern den nächsten Wurf nicht. Die Vorstellung, das nächste Ergebnis müsse eine Serie ausgleichen, nennt man Spielerfehlschluss.
Eine kurze Serie beweist auch nicht, dass der Generator verzerrt ist. Um die Fairness zu untersuchen, lege Stichprobengröße und Messgröße vor dem Ziehen fest, behalte alle Beobachtungen und vergleiche die Ergebnisse mit der Streuung, die bei einem fairen Modell zu erwarten ist.
So funktioniert die Online-Münze
Das Münzwerkzeug von Randomify zieht für jeden Wurf eine zufällige ganze Zahl von 0 bis 1 und ordnet sie Kopf oder Zahl zu. Es nutzt die Web Crypto API des Browsers, sofern verfügbar, und greift in Browsern ohne diese API auf Math.random() zurück. Im Sitzungsverlauf des Werkzeugs kannst du frühere Reihen ansehen. Die obigen Berechnungen setzen unabhängige, faire Würfe voraus; ein endliches Experiment schwankt um diese Erwartungswerte.
Für eine weitere Wahrscheinlichkeitslektion nutze den Würfel-Simulator und vergleiche, wie oft jede Augenzahl fällt. Eine Münze hat zwei mögliche Ergebnisse, ein sechsseitiger Würfel sechs.