Probabilité à pile ou face : une expérience en classe avec 10 pièces
Une pièce équitable a 50 % de chances de tomber sur face à chaque lancer. Cela ne veut pas dire que dix lancers doivent donner cinq fois face. Utilisez cette courte expérience pour montrer la différence entre la probabilité d'un événement isolé et les résultats d'un petit échantillon.
Essayez dix lancers
Ce simulateur commence avec dix pièces. Générez une série et notez le nombre de faces et de piles avant d'en générer une autre.
Pour un affichage en pleine page, ouvrez le simulateur à 10 pièces. Vous pouvez aussi lancer une seule pièce pour constituer l'échantillon un résultat à la fois.
Une activité de dix minutes en classe
- Demandez à chacun de prévoir combien de fois face sortira sur les dix premiers lancers. Notez les prévisions avant de générer les résultats.
- Lancez dix pièces. Notez le nombre de faces, le nombre de piles et la proportion de faces. Sept faces sur dix, c'est 7/10, soit 70 %.
- Recommencez pour obtenir dix séries, en conservant tous les résultats. Additionnez les faces de toutes les séries et divisez par 100. N'écartez pas les séries qui semblent inhabituelles.
- Comparez chaque résultat sur dix lancers avec le résultat global sur cent lancers. Discutez de la façon dont l'échantillon plus grand modifie l'estimation.
- Recommencez avec 100 pièces d'un coup, ou regroupez les résultats de toute la classe. Un échantillon plus grand donnera généralement une proportion plus proche de 50 %, même si ce n'est garanti pour aucun essai en particulier.
Conservez les effectifs bruts à côté des pourcentages. Un résultat de 60 % de faces sur dix lancers en dit beaucoup moins sur la pièce que 60 % de faces sur dix mille lancers.
Quels résultats attendre de dix lancers équitables ?
Dix lancers de pièce indépendants donnent 2¹⁰ = 1 024 suites équiprobables. Par exemple, FFFFFPPPPP (F pour face, P pour pile) est une suite ; l'alternance de face et de pile en est une autre. De nombreuses suites différentes contiennent cinq faces, alors qu'une seule en contient dix.
| Résultat | Suites correspondantes | Probabilité |
|---|---|---|
| Exactement cinq faces | 252 | 24,61 % |
| Exactement quatre ou six faces | 420 | 41,02 % |
| Uniquement des faces | 1 | 0,0977 % |
| Uniquement des piles | 1 | 0,0977 % |
| Les dix identiques, toutes face ou toutes pile | 2 | 0,1953 %, soit 1 sur 512 |
Ces valeurs viennent de la loi binomiale : la probabilité d'obtenir exactement k faces sur n lancers équitables est C(n, k) / 2ⁿ, où C(n, k) compte les façons de choisir la position de ces faces. Pour cinq faces sur dix lancers, C(10, 5) = 252.
Face est-il « dû » après une série de piles ?
Non. Si les lancers sont indépendants et la pièce équitable, le lancer suivant a toujours 50 % de chances de donner face après cinq piles. Les résultats précédents ne modifient pas le tirage suivant. L'idée que le prochain résultat doit compenser une série s'appelle l'erreur du joueur (ou sophisme du joueur).
Une courte série ne prouve pas non plus que le générateur est biaisé. Pour étudier l'équité, choisissez la taille de l'échantillon et la mesure avant de tirer, conservez toutes les observations et comparez les résultats à la variation attendue avec un modèle équitable.
Comment fonctionne la pièce en ligne
L'outil Pile ou Face de Randomify tire un entier aléatoire entre 0 et 1 pour chaque lancer et l'associe à face ou à pile. Il utilise la Web Crypto API du navigateur lorsqu'elle est disponible, avec un repli sur Math.random() pour les navigateurs qui ne la proposent pas. L'historique de session de l'outil vous permet de consulter les séries précédentes. Les calculs ci-dessus supposent des lancers indépendants et équitables ; une expérience finie fluctuera autour de ces valeurs attendues.
Pour une autre leçon de probabilités, utilisez le lancer de dés et comparez la fréquence d'apparition de chaque face. Une pièce a deux résultats possibles, alors qu'un dé à six faces en a six.